Conceitos Fundamentais
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Identidades Fundamentais
sen²x + cos²x = 1. Derivadas: 1 + tg²x = sec²x; 1 + cotg²x = csc²x. Base de toda a trigonometria.
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Adição de Arcos
sen(a±b) = sen a·cos b ± cos a·sen b. cos(a±b) = cos a·cos b ∓ sen a·sen b. Essenciais para simplificar expressões.
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Arcos Duplos
sen(2a) = 2·sen a·cos a. cos(2a) = cos²a - sen²a = 1 - 2sen²a = 2cos²a - 1. Muito cobrados no vestibular.
⚡ O que mais cai no vestibular
Adição de arcos: sen(a+b) ≠ sen a + sen b — erro clássico!Arco duplo do seno: sen(2a) = 2·sen a·cos aArco duplo do cosseno: 3 formas equivalentes — memorize todasIdentidades derivadas: sen²a = (1-cos 2a)/2; cos²a = (1+cos 2a)/2Aplicação: simplificar expressões trigonométricas complexasVerificação: substituir valores conhecidos para verificar identidades
Maratona de Questões
ENEM 2022
Qual é o valor de sen(75°) usando a fórmula de adição de arcos (sen(45°+30°))?
A) (√6+√2)/4
B) (√6-√2)/4
C) √3/2
D) (√2+√3)/4
E) 1/2
✅ Gabarito: A. sen(45°+30°) = sen45°·cos30° + cos45°·sen30° = (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6+√2)/4.
FUVEST 2021
Qual é o valor de sen(2·30°) usando a fórmula do arco duplo?
A) 1/2
B) √3/2
C) √2/2
D) 1
E) √3/4
✅ Gabarito: B. sen(2·30°) = 2·sen30°·cos30° = 2·(1/2)·(√3/2) = √3/2.
UNICAMP 2022
Qual é o valor de cos(2α) se sen α = 3/5?
A) 7/25
B) -7/25
C) 24/25
D) -24/25
E) 1/5
✅ Gabarito: A. cos(2α) = 1 - 2sen²α = 1 - 2·(9/25) = 1 - 18/25 = 7/25.
UNESP 2021
A expressão sen(a+b) - sen(a-b) é igual a:
A) 2·sen a·cos b
B) 2·cos a·sen b
C) 2·sen a·sen b
D) 2·cos a·cos b
E) 0
✅ Gabarito: B. sen(a+b) = sen a·cos b + cos a·sen b. sen(a-b) = sen a·cos b - cos a·sen b. Diferença: 2·cos a·sen b.
ENEM 2021
Qual é o valor de cos(2·60°) usando a fórmula cos(2a) = 2cos²a - 1?
A) 1/2
B) -1/2
C) 0
D) -1
E) √3/2
✅ Gabarito: B. cos(2·60°) = 2cos²60° - 1 = 2·(1/2)² - 1 = 2·(1/4) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2.
FAMERP 2022
Se sen α = 4/5 e cos α = 3/5, qual é o valor de sen(2α)?
A) 7/25
B) 24/25
C) 12/25
D) 16/25
E) 9/25
✅ Gabarito: B. sen(2α) = 2·sen α·cos α = 2·(4/5)·(3/5) = 24/25.
UFRJ 2022
Qual é o valor de cos(15°) = cos(45°-30°)?
A) (√6-√2)/4
B) (√6+√2)/4
C) (√3+1)/4
D) (√3-1)/4
E) √3/2
✅ Gabarito: B. cos(45°-30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30° = (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6+√2)/4.
UNICAMP 2023
A identidade sen²a = (1 - cos 2a)/2 é usada para calcular sen²(30°). O resultado é:
A) 1/4
B) 1/2
C) 3/4
D) √3/4
E) 1
✅ Gabarito: A. sen²(30°) = (1 - cos 60°)/2 = (1 - 1/2)/2 = (1/2)/2 = 1/4. Verificação: sen(30°) = 1/2, sen²(30°) = 1/4 ✓.
UNESP 2023
Se tg α = 1, qual é o valor de tg(2α)?
A) 2
B) 1
C) Indefinida
D) 0
E) -1
✅ Gabarito: C. tg(2α) = 2·tg α/(1 - tg²α) = 2·1/(1-1) = 2/0 = indefinida. tg α = 1 → α = 45°, 2α = 90°, que é assíntota da tangente.
ENEM 2023
Qual é o valor de cos(a+b)·cos(a-b)?
A) cos²a - sen²b
B) cos²a + sen²b
C) cos²a·cos²b
D) cos²a - cos²b
E) sen²a - cos²b
✅ Gabarito: A. cos(a+b) = cos a·cos b - sen a·sen b. cos(a-b) = cos a·cos b + sen a·sen b. Produto = cos²a·cos²b - sen²a·sen²b = cos²a(1-sen²b) - sen²b(1-cos²a) = cos²a - sen²b.
FUVEST 2023
Qual é o valor de sen(α+β) se sen α = 3/5, cos α = 4/5, sen β = 5/13, cos β = 12/13?
A) 33/65
B) 56/65
C) 16/65
D) 63/65
E) 48/65
✅ Gabarito: B. sen(α+β) = sen α·cos β + cos α·sen β = (3/5)·(12/13) + (4/5)·(5/13) = 36/65 + 20/65 = 56/65.
UNICAMP 2022
Qual é o erro na afirmação: 'sen(a+b) = sen a + sen b'?
A) Não há erro — a afirmação é correta
B) A fórmula correta é sen(a+b) = sen a·cos b + cos a·sen b — a distribuição do seno não é linear
C) O erro é que deveria ser sen(a·b) = sen a + sen b
D) O erro é que deveria ser cos(a+b) = sen a + sen b
E) O erro é que a fórmula só vale para a = b
✅ Gabarito: B. Este é um erro clássico! sen(a+b) ≠ sen a + sen b. A fórmula correta é sen(a+b) = sen a·cos b + cos a·sen b. Exemplo: sen(90°) = 1, mas sen(45°) + sen(45°) = √2 ≠ 1.
ENEM — Dissertativa
Prove a identidade sen(2α) = 2·sen α·cos α usando a fórmula de adição de arcos. Em seguida, use essa identidade para calcular sen(120°).
Ver Gabarito
Gabarito: Prova: sen(2α) = sen(α+α) = sen α·cos α + cos α·sen α = 2·sen α·cos α. Cálculo de sen(120°): sen(2·60°) = 2·sen(60°)·cos(60°) = 2·(√3/2)·(1/2) = √3/2. Verificação: sen(120°) = sen(180°-60°) = sen(60°) = √3/2 ✓.