Explore os conceitos através deste elemento interativo.
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Acertos
Matemática 2 · Capítulo 07 · Prova 2
Equações Trigonométricas
Resolução de equações com seno, cosseno e tangente — encontrar todos os valores que satisfazem a equação.
Conceitos Fundamentais
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Equações com Seno
sen(x) = k, com |k| ≤ 1. Solução geral: x = arcsen(k) + 2kπ ou x = π - arcsen(k) + 2kπ. Duas soluções por período.
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Equações com Cosseno
cos(x) = k, com |k| ≤ 1. Solução geral: x = ±arccos(k) + 2kπ. Duas soluções simétricas por período.
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Equações com Tangente
tg(x) = k. Solução geral: x = arctg(k) + kπ. Uma solução por período (período π).
Fórmulas Essenciais
sen(x) = k → x = arcsen(k) + 2nπ ou x = π - arcsen(k) + 2nπ
cos(x) = k → x = ±arccos(k) + 2nπ
tg(x) = k → x = arctg(k) + nπ
sen(x) = 0 → x = nπ
cos(x) = 0 → x = π/2 + nπ
tg(x) = 0 → x = nπ
sen(x) = 1 → x = π/2 + 2nπ
cos(x) = 1 → x = 2nπ
⚡ O que mais cai no vestibular
Seno e cosseno: duas soluções por período (2π)
Tangente: uma solução por período (π)
Intervalo restrito: quando o problema pede soluções em [0, 2π]
Equações com transformações: ex. sen(2x) = 1/2 — resolver para 2x, depois dividir por 2
Sem solução: sen(x) = 2 não tem solução (imagem do seno é [-1,1])
Verificação: sempre substituir as soluções na equação original
Elemento Interativo
Solucionador de Equações Trigonométricas
Encontre as soluções de equações trigonométricas básicas:
Maratona de Questões
ENEM 2022
Quais são as soluções de sen(x) = 1/2 no intervalo [0°, 360°]?
✅ Gabarito: A. sen(30°) = 1/2. No 1º quadrante: x = 30°. No 2º quadrante: x = 180°-30° = 150°. Verificação: sen(30°) = sen(150°) = 1/2 ✓.
FUVEST 2021
Quais são as soluções de cos(x) = -1/2 no intervalo [0°, 360°]?
✅ Gabarito: B. cos(60°) = 1/2, então cos(x) = -1/2 nos quadrantes 2 e 3. x = 180°-60° = 120° e x = 180°+60° = 240°.
UNICAMP 2022
Quantas soluções tem a equação sen(x) = 2?
✅ Gabarito: D. A imagem do seno é [-1, 1]. Como 2 > 1, a equação sen(x) = 2 não tem solução.
UNESP 2021
Qual é a solução geral de tg(x) = √3?
✅ Gabarito: B. tg(60°) = √3. Solução geral da tangente: x = 60° + n·180°, pois o período da tangente é 180°.
ENEM 2021
Quais são as soluções de sen(2x) = 1 no intervalo [0°, 360°]?
✅ Gabarito: B. sen(2x) = 1 → 2x = 90° + n·360° → x = 45° + n·180°. No intervalo [0°, 360°]: x = 45° (n=0) e x = 225° (n=1).
FAMERP 2022
Qual é a solução de cos(x) = 0 no intervalo [0°, 360°)?
✅ Gabarito: B. cos(x) = 0 em x = 90° e x = 270° no intervalo [0°, 360°).
UFRJ 2022
Quantas soluções tem a equação cos(x) = -1 no intervalo [0°, 360°]?
✅ Gabarito: B. cos(x) = -1 apenas em x = 180°. É o único ponto onde o cosseno atinge -1 no intervalo [0°, 360°].
UNICAMP 2023
Quais são as soluções de tg(x) = -1 no intervalo [0°, 360°)?
✅ Gabarito: B. tg(45°) = 1, então tg(x) = -1 nos quadrantes 2 e 4. x = 180°-45° = 135° e x = 360°-45° = 315°.
UNESP 2023
Qual é a solução de sen(x) = -√3/2 no intervalo [0°, 360°]?
✅ Gabarito: B. sen(60°) = √3/2. Seno negativo nos quadrantes 3 e 4. x = 180°+60° = 240° e x = 360°-60° = 300°.
ENEM 2023
Quantas soluções tem a equação sen(x) = 0 no intervalo [0°, 720°]?
✅ Gabarito: D. sen(x) = 0 em x = 0°, 180°, 360°, 540°, 720°. São 5 soluções no intervalo [0°, 720°].
FUVEST 2023
Qual é a solução de 2·sen(x) - 1 = 0 no intervalo [0°, 360°]?
✅ Gabarito: A. 2·sen(x) = 1 → sen(x) = 1/2 → x = 30° e x = 150°.
UNICAMP 2022
A equação cos(x) = k tem solução se e somente se:
✅ Gabarito: C. A imagem do cosseno é [-1, 1]. A equação cos(x) = k tem solução se e somente se -1 ≤ k ≤ 1.
ENEM — Dissertativa
Resolva a equação 2·cos²(x) - cos(x) - 1 = 0 no intervalo [0°, 360°]. Mostre todos os passos.
Gabarito: Substituindo u = cos(x): 2u² - u - 1 = 0. Usando Bhaskara: u = (1 ± √(1+8))/4 = (1 ± 3)/4. u₁ = 1 e u₂ = -1/2. Para cos(x) = 1: x = 0° e x = 360°. Para cos(x) = -1/2: x = 120° e x = 240°. Soluções: x = 0°, 120°, 240°, 360°.