🌍 Capítulo 06

Função Logarítmica II

Richter, Decibel, pH — três escalas logarítmicas que medem o mundo real: terremotos, sons e acidez.

🌏

M = log(I/S)

Escala Richter

Mede a magnitude de terremotos. Cada grau = 10× mais intenso.

🔊

d = 10·log(I/I₀)

Escala Decibel

Mede nível de intensidade sonora. I₀ = limiar da audição humana.

🧪

pH = –log[H⁺]

Escala de pH

Mede acidez/basicidade. pH 0–6 ácido, 7 neutro, 8–14 básico.

💡 Por que usar logaritmos? Porque as grandezas reais variam em ordens de magnitude imensas. Um terremoto pode liberar 10¹²× mais energia que outro. Uma nota musical pode ter 10¹³× mais intensidade sonora que o silêncio. O logaritmo comprime isso em uma escala manejável de 0 a 10 ou 0 a 14.

O que significa "cada grau = 10× mais"?

Richter: M₂ – M₁ = 1 → I₂/I₁ = 10 (10× mais intenso)
Richter: M₂ – M₁ = 2 → I₂/I₁ = 100 (100× mais intenso)
Decibel: cada 10 dB → 10× mais intensidade sonora
pH: cada unidade → 10× mais concentrado em H⁺

🌏 Escala Richter

Fórmula de Richter (1935): M = log(I/S)
M = magnitude em graus Richter | I = intensidade do terremoto | S = intensidade padrão de referência

Comparando dois terremotos:

M₁ = log(I₁/S) e M₂ = log(I₂/S)
M₂ – M₁ = log(I₂/I₁)

Exemplo do livro: Terremoto 1 com M₁ = 8,3. Outro 4× mais intenso:
M₂ = log(4·I₁/S) = log 4 + log(I₁/S) = log 2² + 8,3 = 2·0,3 + 8,3 = 8,9 graus

Escala Visual de Intensidade

Quiz Richter

Um terremoto de 6,9 graus Richter é quantas vezes mais intenso que um de 4,9 graus? (log 100 = 2)

M₂–M₁ = 6,9–4,9 = 2 → log(I₂/I₁) = 2 → I₂/I₁ = 10² = 100 ✓

🔊 Escala Decibel

Fórmula: d(I) = 10 · log(I / I₀)
d = nível em decibéis (dB) | I = intensidade sonora | I₀ ≈ 10⁻¹² W/cm² (limiar da audição humana)

Exemplos de cálculo:

I = 1000 · I₀ → d = 10·log(1000) = 10·3 = 30 dB (sussurro suave)
I = 10⁶ · I₀ → d = 10·log(10⁶) = 10·6 = 60 dB (conversa normal)
I = 10¹² · I₀ → d = 10·log(10¹²) = 10·12 = 120 dB (concerto de rock)

Mapa de Sons (em dB)

Quiz Decibel

(ENEM) Um som de 40 dB e outro de 80 dB. Quantas vezes o segundo é mais intenso?

d₂–d₁ = 40 → 10·log(I₂/I₁) = 40 → log(I₂/I₁) = 4 → I₂/I₁ = 10⁴ = 10.000 ✓

Dois sons de 50 dB cada são tocados simultaneamente. Qual o nível resultante? (log 2 = 0,3)

50 dB → I = 10⁵·I₀. Dois sons: 2·I = 2·10⁵·I₀. d = 10·log(2·10⁵) = 10·(log 2 + 5) = 10·(0,3+5) = 53 dB ✓

🧪 Escala de pH

Fórmula: pH = –log[H⁺]
[H⁺] = concentração de íons de hidrogênio em mol/L. pH 0–6 = ácido | pH 7 = neutro | pH 8–14 = básico (alcalino)

Exemplos de pH:

[H⁺] = 10⁻³ → pH = –log(10⁻³) = 3 (ácido — vinagre)
[H⁺] = 10⁻⁷ → pH = –log(10⁻⁷) = 7 (neutro — água pura)
[H⁺] = 10⁻¹¹ → pH = –log(10⁻¹¹) = 11 (básico — água sanitária)

Escala de pH Interativa

Quiz pH

Uma solução tem [H⁺] = 4×10⁻⁴ mol/L. Qual é seu pH? (log 4 = 0,6)

pH = –log(4×10⁻⁴) = –(log 4 + log 10⁻⁴) = –(0,6–4) = –(–3,4) = 3,4 ✓

Chuva ácida tem pH = 4. Água pura tem pH = 7. A chuva ácida é quantas vezes mais concentrada em H⁺?

pH₁=4 → [H⁺]₁=10⁻⁴ | pH₂=7 → [H⁺]₂=10⁻⁷. Razão: 10⁻⁴/10⁻⁷ = 10³ = 1000 ✓

🧮 Simulador Richter

Magnitude 1 (graus): Magnitude 2 (graus):

Insira as magnitudes e clique em comparar

🔊 Simulador Decibel

Intensidade (× I₀):

Insira a intensidade e clique em calcular

🧪 Simulador pH

[H⁺] (×10⁻ⁿ): Coef.: Expoente n:

Insira a concentração e clique em calcular

✏️ Exercícios de Vestibular

UNICAMP

O nível de ruído de uma furadeira é 90 dB e de uma britadeira é 120 dB. Quantas furadeiras produzem o mesmo nível sonoro de uma britadeira? (log 2 = 0,3)

90 dB = 10·log(I₁/I₀) → I₁ = 10⁹·I₀. 120 dB → I₂ = 10¹²·I₀. n furadeiras: n·I₁ = I₂ → n·10⁹ = 10¹² → n = 10³ = 1000 ✓

FUVEST

Um terremoto foi registrado com magnitude 5 e outro com magnitude 8 na escala Richter. Qual é a relação entre as intensidades? Escreva I₂/I₁.

M₂–M₁ = 8–5 = 3 → log(I₂/I₁) = 3 → I₂/I₁ = 10³ = 1000 ✓

UEL

Suco de laranja tem pH = 3,5 e café tem pH = 5,0. A concentração de H⁺ do suco é quantas vezes maior que a do café? (log 3,16 ≈ 0,5)

pH₁=3,5 → [H⁺]₁=10⁻³·⁵. pH₂=5 → [H⁺]₂=10⁻⁵. Razão = 10⁻³·⁵/10⁻⁵ = 10¹·⁵ = 10·10^0,5 ≈ 10·3,16 ≈ 31,6 ✓

ENEM

Juros compostos de 10% ao mês. Com log 1,1 = 0,0414, em quantos meses o capital dobra?

2C = C·(1,1)ᵗ → (1,1)ᵗ = 2 → t·log 1,1 = log 2 → t·0,0414 = 0,301 → t ≈ 7,27 → t = 8 meses (arredondando para cima) ✓

✅ Checklist

Sei a fórmula de Richter: M = log(I/S)

Calculo diferença de intensidade entre dois terremotos

Sei a fórmula do Decibel: d = 10·log(I/I₀)

Comparo intensidades sonoras em problemas de Decibel

Sei a fórmula do pH: pH = –log[H⁺]

Identifico soluções ácidas (pH < 7), neutras (pH = 7) e básicas (pH > 7)

Uso logaritmos para calcular tempo em problemas de juros compostos

0/7

Itens dominados

Diagrama Interativo

Função Logarítmica II