Explore os conceitos através deste elemento interativo.
🎲 Capítulo 07
Análise Combinatória I
Problemas de contagem com o Princípio Fundamental da Contagem. Do Doutor Estranho aos 14 milhões de futuros.
Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
Se um evento tem k etapas independentes, com n₁, n₂, …, nₖ maneiras cada, o total de possibilidades é: N = n₁ × n₂ × … × nₖ
Os 5 Casos Clássicos
🥪
Caso da Lanchonete
2 pães × 3 recheios = 6 sanduíches possíveis
Estratégia: multiplicar as escolhas independentes de cada categoria.
🔐
Caso da Senha (com repetição)
Cadeado 3 dígitos (0-9): 10 × 10 × 10 = 1.000 senhas
Cadeado 3 letras (a-z): 26 × 26 × 26 = 17.576 senhas
Quando há repetição, cada posição mantém todas as opções.
🏙
Caso dos Caminhos (com somas)
A→B: 3 caminhos, B→C: 4 caminhos, A→C direto: 1 caminho
Total A→C: 3×4 + 1 = 13 caminhos
Quando há rotas independentes, somamos os produtos.
🏅
Caso do Pódio (sem repetição)
3 atletas para 3 lugares: 3 × 2 × 1 = 6 formações
Para o 1º lugar: 3 opções. Para o 2º: 2 restam. Para o 3º: 1 restante.
Sem repetição: cada posição "usa" um elemento.
⚽
Caso da Copa (par não ordenado)
4 times, turno único: não contar Brasil×Sérvia e Sérvia×Brasil como 2 jogos
Total: (4 × 3) / 2 = 6 jogos
Dividir por 2 porque cada par foi contado duas vezes.
🌳 Construtor de Árvore de Possibilidades
Exemplo dos Vingadores — Árvore 3×4
Locais: Wakanda, Titã, Luganhehum Heróis: Visão, Wanda, Thor, Tony Stark Total: 3 × 4 = 12 cenários de confronto
🔒 Problemas com Restrições
Estratégia geral: Identifique a restrição e resolva ela PRIMEIRO, depois complete as demais posições.
Caso: números de 3 algarismos com {0,1,2,3,4}
Sem restrição: 5×5×5 = 125 (mas centenas pode ser 0 → inválido!) Com restrição (centena ≠ 0): centena: 4 opções (1,2,3,4) × dezena: 5 × unidade: 5 = 100 números
Caso: números pares de 3 algarismos com {1,2,3,4,5,6}
Restrição: unidade deve ser par → apenas {2,4,6} → 3 opções
Resolver a unidade PRIMEIRO: 3 opções
Depois centena: 6 opções, dezena: 6 opções
Total: 6 × 6 × 3 = 108 números
Uma senha de 4 dígitos foi gerada aleatoriamente. Você tem 8 tentativas para descobri-la! 🟢 = dígito certo no lugar certo | 🟡 = dígito certo no lugar errado | ⚫ = dígito errado
?
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?
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Adivinhe a senha de 4 dígitos!
💡 Conexão matemática: Uma senha de 4 dígitos tem 10⁴ = 10.000 possibilidades (com repetição). Se fosse com dígitos distintos: 10×9×8×7 = 5.040 possibilidades.
✏️ Exercícios de Vestibular
ENEM
Marta tem 5 saias, 6 blusas e 4 pares de sapatos. De quantos modos diferentes ela pode se vestir combinando uma saia, uma blusa e um par de sapatos?
PFC: 5 × 6 × 4 = 120 ✓
FUVEST
Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados com {1, 2, 3, 4, 5}?
Uma bandeira é formada por 3 faixas horizontais de cores diferentes. Com 6 cores disponíveis, quantas bandeiras distintas podem ser formadas?
Cores distintas (ordem importa): 6×5×4 = 120 ✓
PUC-SP
Em um torneio com 6 times (turno único), cada time joga uma vez com todos os outros. Quantos jogos serão realizados?
(6×5)/2 = 15 ✓ (divide por 2 pois A×B = B×A no turno único)
ITA
Quantos números de 4 algarismos, com algarismos distintos e sem zero, são divisíveis por 5?
Divisível por 5 → último dígito = 5 (zero excluído). Fixamos 5 na unidade: 1 opção. Centenas: 8 restantes (1-9 excl. 5), dezenas: 7, unidade: já fixada em 5, centenas posição. Recalculando: unidade=5 (1 opção), depois 3 posições com 8 dígitos distintos (1-9 sem o 5): 8×7×6 = 336? Não, são 4 posições. Fix 5 na unidade: 1. Centenas: 8 opções (1,2,3,4,6,7,8,9), dezenas: 7, segundo algarismo: 6. Total: 8×7×6×1 = 336. Conferir com o gabarito original pois pode haver ambiguidade no enunciado.
✅ Checklist
Enuncio o Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Construo e interpreto árvores de possibilidades
Resolvo problemas de senha (com e sem repetição)
Resolvo problemas de caminhos (adição × multiplicação)
Resolvo problemas de pódio/arranjo sem repetição
Calculo jogos em turno único: n×(n–1)/2
Aplico restrições: resolvo a posição restrita PRIMEIRO
Identifico quando número não pode começar com zero