Explore os conceitos através deste elemento interativo.
📈 Capítulo 05
Função Logarítmica I
A inversa da exponencial — domínio ℝ₊*, imagem ℝ, assíntota no eixo y. A escala que mede tsunamis e terremotos.
Definição: f: ℝ₊* → ℝ, f(x) = logₐ x, onde a > 0 e a ≠ 1
Domínio: ℝ₊* = (0, +∞) | Imagem: ℝ = (–∞, +∞) | Assíntota vertical: x = 0
📈
Crescente: a > 1
Se x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂) Aproxima-se de y→–∞ quando x→0⁺ Exemplo: f(x) = log₂ x
📉
Decrescente: 0 < a < 1
Se x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂) Aproxima-se de y→+∞ quando x→0⁺ Exemplo: f(x) = log₀.₅ x
Comparação com a Função Exponencial
Propriedade
Exponencial aˣ
Logarítmica logₐ x
Domínio
ℝ
ℝ₊*
Imagem
ℝ₊*
ℝ
Ponto fixo
(0,1)
(1,0)
Assíntota
y = 0 (horizontal)
x = 0 (vertical)
📈 Explorador Gráfico da Função Logarítmica
010
f(x) = log₁₀ x
Resumo Visual do Comportamento
a > 1 → f crescente
• f(x) → –∞ quando x → 0⁺
• f(1) = 0 (passa pela origem no eixo x)
• f(x) → +∞ quando x → +∞
• 1 < x₁ < x₂ → 0 < f(x₁) < f(x₂)
0 < a < 1 → f decrescente
• f(x) → +∞ quando x → 0⁺
• f(1) = 0 (passa pela origem no eixo x)
• f(x) → –∞ quando x → +∞
• 1 < x₁ < x₂ → 0 > f(x₁) > f(x₂)
⚖️ Equações Logarítmicas
Condição sempre necessária: verificar o domínio após resolver — os logaritmandos devem ser positivos!
Tipo 1: logₐ f(x) = α
Converter para forma exponencial: f(x) = aᵅ Exemplo: log₂(3x–1) = 3 → 3x–1 = 2³ = 8 → 3x = 9 → x = 3 ✓ (3·3–1=8 > 0)
Tipo 2: logₐ f(x) = logₐ g(x)
Se as bases são iguais: f(x) = g(x) (e verificar domínio!) Exemplo: log₃(x+2) = log₃(2x–1) → x+2 = 2x–1 → x = 3 ✓ (ambos positivos)
Tipo 3: Mudança de variável (equações biquadradas em log)
Seja y = logₐ x, transformar em equação do 2º grau. Exemplo: (log x)² – 5·log x + 6 = 0
y = log x → y²–5y+6 = 0 → (y–2)(y–3) = 0 → log x = 2 ou log x = 3 → x = 100 ou x = 1000
log₉ x = log_{3²} x = (1/2)·log₃ x = t/2 ✓ (P3 aplicada à base)
(log x)² – 3·log x + 2 = 0. Qual é o produto das soluções?
y=log x → y²–3y+2=0 → (y–1)(y–2)=0 → log x=1 ou log x=2 → x=10 ou x=100. Produto: 10·100 = 1000 ✓
↔️ Inequações Logarítmicas
⚠️ REGRA DE OURO:
Se a > 1 → inequação MANTÉM o sentido ao "tirar o log"
Se 0 < a < 1 → inequação INVERTE o sentido ao "tirar o log"
Sempre verificar o domínio: logaritmando > 0!
Exemplo 1 (a > 1): log₂ x > 3
x > 2³ = 8 (mantém >, base 2 > 1)
Domínio: x > 0. Solução: x > 8 → (8, +∞)
Exemplo 2 (0 < a < 1): log₀.₅ x > –2
x < (1/2)^(–2) = 4 (INVERTE, base = 0,5 < 1)
Domínio: x > 0. Solução: 0 < x < 4 → (0, 4)
Exemplo 3 (com expressão): log₃(2x–1) ≥ log₃(x+2)
Base 3 > 1, mantém: 2x–1 ≥ x+2 → x ≥ 3
Domínio: 2x–1 > 0 e x+2 > 0 → x > 1/2. Solução: x ≥ 3
Quiz de Inequações
Resolva: log₀.₂(x+1) < log₀.₂(2x–3)
Base 0,2 < 1 → INVERTE: x+1 > 2x–3 → 4 > x → x < 4. Domínio: x+1 > 0 e 2x–3 > 0 → x > 3/2. Solução: 3/2 < x < 4 ✓