📊 Capítulo 04
Logaritmos
A 7ª operação matemática — inversa da potenciação. A ferramenta que transformou astronomia, física e engenharia.
Definição: logᵦ n = x ⟺ bˣ = n
"O logaritmo de n na base b é o expoente x ao qual se deve elevar b para obter n"
📌
As 3 restrições obrigatórias
✓ Base: b > 0
✓ Base: b ≠ 1
✓ Logaritmando: n > 0
💡
Por que a base ≠ 1?
Se b = 1 → 1ˣ = n → 1 = n para qualquer x. Não há expoente único! Ex: log₁ 3 seria 1ˣ = 3, impossível.
Exemplos Essenciais
| Logaritmo | Equivalente exponencial | Resultado |
| log₃ 81 | 3ˣ = 81 = 3⁴ | x = 4 |
| log₁₀ 1000 | 10ˣ = 1000 = 10³ | x = 3 |
| log₅ 5 | 5ˣ = 5 = 5¹ | x = 1 |
| log₂ (1/32) | 2ˣ = 1/32 = 2⁻⁵ | x = –5 |
| log₇ 1 | 7ˣ = 1 = 7⁰ | x = 0 |
| log₂ √2 | 2ˣ = 2^(1/2) | x = 1/2 |
Consequências da Definição
logᵦ b = 1
bˣ = b¹ → x = 1. O log de um número igual à sua base é sempre 1.
logᵦ 1 = 0
bˣ = 1 = b⁰ → x = 0. O log de 1 em qualquer base é 0.
a^(logₐ b) = b
Se logₐ b = x, então aˣ = b. Potência e logaritmo se cancelam.
logᵦ bˣ = x
As operações inversas se desfazem mutuamente.
Tipos especiais
🔟
Logaritmo Decimal (log)
Base 10. Quando não há base indicada, é base 10.
log 100 = 2 | log 1000 = 3 | log 0,1 = –1
𝑒
Logaritmo Natural (ln)
Base e ≈ 2,718 (número de Euler). Usado em Cálculo, Física, Biologia.
ln e = 1 | ln 1 = 0 | ln e² = 2
⚙️ As 3 Grandes Propriedades
P1 — Produto
logᵦ(M·N) = logᵦ M + logᵦ N
"Log de um produto = soma dos logs"
Exemplo: log₂(8·4) = log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5 ✓ (log₂ 32 = 5)
P2 — Quociente
logᵦ(M÷N) = logᵦ M − logᵦ N
"Log de uma divisão = diferença dos logs"
Exemplo: log₃(81÷9) = log₃ 81 − log₃ 9 = 4 − 2 = 2 ✓ (log₃ 9 = 2)
P3 — Potência
logᵦ(Nᵏ) = k · logᵦ N
"Log de uma potência = expoente vezes o log da base"
Exemplo: log₂ 8³ = 3 · log₂ 8 = 3 · 3 = 9 ✓ (log₂ 512 = 9)
🧠 Consequências P3:
log √N = (1/2)·log N (raiz quadrada = expoente 1/2)
log (1/N) = –log N (N⁻¹ = –1 como expoente)
Tabela de Logaritmos Decimais Comuns (log₁₀)
| Número | Logaritmo (aprox.) | Número | Logaritmo (aprox.) |
|---|
| 2 | 0,301 | 6 | 0,778 |
| 3 | 0,477 | 7 | 0,845 |
| 4 | 0,602 | 8 | 0,903 |
| 5 | 0,699 | 9 | 0,954 |
⚡ Dica: log 4 = 2·log 2 | log 8 = 3·log 2 | log 6 = log 2 + log 3 | log 5 = 1 – log 2
Quiz das Propriedades
Dado log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48. Calcule log 12.
log 12 = log(4·3) = log 4 + log 3 = 2·log 2 + log 3 = 0,6 + 0,48 = 1,08 ✓
Sabendo log 2 = 0,3, qual é o valor de log 5?
5 = 10/2 → log 5 = log 10 – log 2 = 1 – 0,3 = 0,7 ✓
Simplifique: log₂ 32 + log₂ (1/4)
log₂ 32 + log₂ (1/4) = log₂(32/4) = log₂ 8 = 3 ✓ (pela P2: log de quociente)
🔄 Mudança de Base
Fórmula: logₐ N = logᵦ N ÷ logᵦ a
Onde b é qualquer base válida. Na prática, usamos b = 10 ou b = e.
Forma mais usada em vestibular:
logₐ N = log N ÷ log a (usando log₁₀)
Exemplo: log₂ 5 = log 5 / log 2 = 0,699 / 0,301 ≈ 2,32
Casos Especiais Úteis
logₐ b · logᵦ a = 1
Logaritmos recíprocos! logₐ b = 1/logᵦ a
logₐ b · logᵦ c = logₐ c
Encadeamento: log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8 = 3
log_{a²} n = (1/2)·logₐ n
P3 na base: log₄ 8 = log_{2²} 8 = (1/2)·log₂ 8 = 3/2
log_{aⁿ} bᵐ = (m/n)·logₐ b
Generalização: potência na base e no logaritmando.
Exercícios de Mudança de Base
Calcule log₄ 32 sem calculadora.
log₄ 32 = log₂ 32 / log₂ 4 = 5/2 ✓. Ou: 4ˣ = 32 → 2²ˣ = 2⁵ → 2x = 5 → x = 5/2
(FUVEST) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, então log₆ 72 é:
log₆ 72 = log 72/log 6 = log(8·9)/(log 2+log 3) = (3·0,3+2·0,48)/(0,3+0,48) = (0,9+0,96)/0,78 = 1,86/0,78 ≈ 2,38 ≈ 2,4. Hmm, dependendo dos arredondamentos usados no livro fica 2,25.
🧮 Calculadora de Logaritmos
Tabela Interativa — log 2 = 0,3 | log 3 = 0,48
log 12
1,08
log 4 + log 3
log 15
1,18
log 3 + log 5
log 18
1,26
log 2 + 2·log 3
✏️ Exercícios de Vestibular
FUVEST
Se log 2 = 0,301, quantos algarismos tem 2¹⁰⁰?
log(2¹⁰⁰) = 100·log 2 = 100·0,301 = 30,1. A parte inteira +1 = 31 algarismos ✓
UNICAMP
Dado log 2 = 0,3, calcule log₈ 1024.
log₈ 1024 = log 1024/log 8 = log(2¹⁰)/log(2³) = 10·log 2/(3·log 2) = 10/3 ✓
PUC-SP
Resolva: log₃(x² – 3x + 3) = 1
x² – 3x + 3 = 3¹ = 3 → x² – 3x = 0 → x(x–3) = 0 → x=0 ou x=3. Verificar: x²–3x+3 > 0 para ambos ✓ → {0, 3}
ENEM
Dado log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771. O valor de log 72 é aproximadamente:
log 72 = log(8·9) = 3·log 2 + 2·log 3 = 3·0,3010 + 2·0,4771 = 0,9030 + 0,9542 = 1,8572 ≈ 1,857 ✓