☢️ Capítulo 03

Função Exponencial II

Juros compostos, depreciação, decaimento radioativo e crescimento populacional — o mundo exponencial na prática.

4 Grandes Aplicações

💰

M = C · (1+i)ᵗ

Juros Compostos
M=montante, C=capital, i=taxa, t=períodos. "Juros sobre juros" — crescimento exponencial.

📉

V(t) = V₀ · (1–r)ᵗ

Depreciação
V₀=valor inicial, r=taxa de depreciação, t=tempo. Decrescimento exponencial do valor de um bem.

☢️

m = m₀ · e^(–kt)

Decaimento Radioativo
m₀=massa inicial, k=constante, t=tempo. A massa decresce exponencialmente.

👥

P(t) = P₀ · aᵏᵗ

Crescimento Populacional
P₀=pop. inicial, k=constante, t=tempo. Modela crescimento de populações.

🔑 Meia-Vida: O tempo T para que uma quantidade se reduza À METADE. Se m(T) = m₀/2, então e^(–kT) = 1/2 → a meia-vida depende apenas da constante k, não da massa inicial!

Comparação: Crescimento Exponencial vs Linear

x	Linear 2x	Quadrático x²	Exponencial 2ˣ ⚡
10	20	100	1.024
20	40	400	1.048.576
30	60	900	1.073.741.824

💰 Juros Compostos

Fórmula: M = C · (1+i)ᵗ
M = montante final | C = capital inicial | i = taxa por período (em decimal) | t = número de períodos

Diferença entre Simples e Compostos:

Juros Simples: incidem apenas sobre o capital inicial → crescimento LINEAR (progressão aritmética)
Juros Compostos: "juros sobre juros" — incidem sobre capital + juros acumulados → crescimento EXPONENCIAL (progressão geométrica)

Exemplo Resolvido:

Capital R$10.000 a juros compostos de 5% ao ano. Quantos anos para montante ≥ R$11.025?

11025 = 10000 · (1,05)ᵗ → (1,05)ᵗ = 1,1025 = (1,05)² → t = 2 anos

⚠️ Cuidado com as Unidades: A taxa e o tempo devem ser na mesma unidade! Taxa de 2% ao mês → t em meses. Taxa de 10% ao ano → t em anos.

📉 Depreciação

V(t) = V₀ · (1–r)ᵗ

Se o bem perde r% ao período, após t períodos vale V₀·(1–r/100)ᵗ.

Exemplo: Carro comprado por R$60.000 perde 12% ao ano. Quantos anos para valer a metade?
30000 = 60000 · (0,88)ᵗ → (0,88)ᵗ = 0,5 → t ≈ 6 anos (calculadora ou logaritmo)

☢️ Decaimento Radioativo

Fórmula: m(t) = m₀ · e^(–kt)
m₀ = massa inicial | e ≈ 2,718 (constante de Euler) | k = constante da substância | t = tempo

⏱

Fórmula da Meia-Vida

Se T = meia-vida, então: m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T)

Esta é a forma mais comum em vestibulares!

📋

Meias-Vidas Famosas

• Carbono-14: ~5.730 anos
• Césio-137: ~30 anos
• Trítio: ~12 anos
• Plutônio-239: ~24.000 anos
• Urânio-235: ~713 milhões de anos

Exemplo: Césio-137 (Chernobyl)

Meia-vida ≈ 30 anos. Após o acidente de 1986, quanto césio restará em 2046 (60 anos)?

m(60) = m₀ · (1/2)^(60/30) = m₀ · (1/2)² = m₀/4 → 25% da quantidade original

Em 2076 (90 anos): m₀ · (1/2)³ = m₀/8 → 12,5%

💊 Meia-Vida de Medicamentos: O mesmo conceito se aplica a fármacos! A meia-vida indica quanto tempo para a concentração cair à metade no organismo, determinando a frequência das doses.

👥 Crescimento Populacional

Fórmula: P(t) = P₀ · aᵏᵗ ou P(t) = P₀ · e^(kt)
P₀ = população inicial | k = constante de proporcionalidade | t = tempo

Exemplo 1 — Pernilongos

P(t) = P₀·e^(0,01t), t em dias. Após 30 dias: 400.000 pernilongos. Qual era a população inicial?

P₀·e^(0,3) = 400.000 → P₀ = 400.000·e^(–0,3) ≈ 400.000·0,741 ≈ 296.000 pernilongos

Exemplo 2 — Cidade que dobrou

Cidade com 20.000 hab. dobrou em 20 anos. P(t) = P₀·aᵗ. Taxa anual?

40000 = 20000·a²⁰ → a²⁰ = 2 → a = 2^(1/20) = 2^(0,05) ≈ 1,035
Taxa de crescimento: 3,5% ao ano

Brasil — Projeção IBGE 2021

População em 2021: 213 milhões | Taxa: 0,74% ao ano
P(10) = 213 · (1,0074)¹⁰ ≈ 213 · 1,0768 ≈ 229 milhões em 2031

🧮 Simulador de Juros Compostos

💰 Calcule o Montante

Capital (R$): Taxa (% por período): Períodos:

Preencha os campos e clique em Calcular

☢️ Simulador de Meia-Vida

☢️ Decaimento por Meia-Vida

Massa inicial (g): Meia-vida (anos): Tempo (anos):

Preencha os campos e clique em Calcular

🧠 Quiz das Aplicações

(UERJ) Um trabalhador absorveu 50mg de agrotóxico. O corpo elimina 75% a cada 6 dias. V(t) = 50·(0,25)^(t/6). Quanto tempo para reduzir a 25mg?

25 = 50·(0,25)^(t/6) → 0,5 = (0,25)^(t/6) → (1/2) = (1/4)^(t/6) → (1/4)^(1/2) = (1/4)^(t/6) → t/6 = 1/2 → t = 3. Ops, resposta b) 3 dias!

(PUC-RJ) Colônia de bactérias que triplica a cada 30 minutos. Começou com 10.000/mL. Após x minutos havia 2,43×10⁶/mL. Qual é x?

10000·3^(x/30) = 2,43×10⁶ → 3^(x/30) = 243 = 3⁵ → x/30 = 5 → x = 150 min = 2 horas e 30 min. Resposta b)!

(ENEM) Amoxicilina tem meia-vida de 1 hora. Dose às 12h. Percentual restante às 13h30min?

t = 1,5 h. m(1,5) = (1/2)^(1,5) = (1/2)^(3/2) = 1/2√2 ≈ 1/2,83 ≈ 35,4% ✓

✏️ Exercícios de Vestibular

FCMSCSP

r(t) = C·3^(–6t) — radioatividade após t segundos. Para que a substância fique com 1/3 da radioatividade inicial, t = ?

C/3 = C·3^(–6t) → 3^(–1) = 3^(–6t) → –1 = –6t → t = 1/6 ✓

UEMA

v(t) = 65000·4^(–0,04t). Após quantos anos o caminhão valerá 1/8 do valor de aquisição?

65000/8 = 65000·4^(–0,04t) → 4^(–3/2) = 4^(–0,04t) → –3/2 = –0,04t → t = 37,5 ✓

USF

Bactérias: A(t) = 10·2^(t–1) + 238 e B(t) = 2^(t+2) + 750. Quando A(t) = B(t)?

10·2^(t–1)+238 = 2^(t+2)+750 → 5·2^t+238 = 4·2^t+750 → 2^t = 512 = 2⁹ → t = 9. Hmm, resposta d) 9 horas!

UPE

Q(t) = Q₀·e^(kt), k>0. Colônia com 6.000 bactérias, após 20 min tem 12.000. Quantas após 1 hora (60 min)?

Duplica a cada 20min. Em 60min = 3 períodos: 6000·2³ = 6000·8 = 48.000 = 4,8×10⁴ ✓

✅ Checklist

Reconheço situações de crescimento ou decrescimento exponencial

Aplico a fórmula de juros compostos M = C·(1+i)ᵗ

Calculo depreciação com V(t) = V₀·(1–r)ᵗ

Uso a fórmula da meia-vida: m(t) = m₀·(1/2)^(t/T)

Conheço o número de Euler e ≈ 2,718

Modelo crescimento populacional com P(t) = P₀·aᵏᵗ

Resolvo problemas de dose de medicamentos com meia-vida

0/7

Itens dominados

Diagrama Interativo

Função Exponencial II