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Acertos
Matemática 2 · Capítulo 01 · Prova 1
Funções Trigonométricas
Ciclo trigonométrico, arcos côngruos, razões trigonométricas e valores notáveis — base de toda a trigonometria do vestibular.
Conceitos Fundamentais
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Ciclo Trigonométrico
Circunferência de raio 1 centrada na origem. Todo ponto P(x,y) no ciclo satisfaz x² + y² = 1. O ângulo é medido a partir do eixo positivo x, no sentido anti-horário.
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Arcos Côngruos
Arcos que têm a mesma extremidade no ciclo. Fórmula: α + k·360° (graus) ou α + 2kπ (radianos), com k ∈ ℤ. Ex: 60°, 420°, 780° são côngruos.
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Razões Trigonométricas
Para o ponto P(x,y) no ciclo: sen(α) = y, cos(α) = x, tg(α) = y/x (x≠0). A relação fundamental: sen²(α) + cos²(α) = 1.
Fórmulas Essenciais
Relação Fundamental: sen²α + cos²α = 1
Tangente: tg α = sen α / cos α (cos α ≠ 0)
Arcos côngruos (graus): α + k·360°, k ∈ ℤ
Arcos côngruos (rad): α + 2kπ, k ∈ ℤ
Conversão: rad = graus × π/180 | graus = rad × 180/π
⚡ O que mais cai no vestibular
Relação fundamental: sen²α + cos²α = 1 — usada em quase todas as questões
Valores notáveis: sen/cos/tg de 30°, 45°, 60° — memorize a tabela
Quadrantes: sinal de sen, cos e tg em cada quadrante (regra do "ASTC")
Arcos côngruos: determinar o arco na 1ª volta equivalente a um ângulo grande
Conversão graus/radianos: muito cobrado no ENEM
Periodicidade: período do seno e cosseno = 2π; da tangente = π
Valores Notáveis
Ângulo
Radianos
Seno
Cosseno
Tangente
0°
0
0
1
0
30°
π/6
1/2
√3/2
√3/3
45°
π/4
√2/2
√2/2
1
60°
π/3
√3/2
1/2
√3
90°
π/2
1
0
Indefinida
180°
π
0
-1
0
270°
3π/2
-1
0
Indefinida
360°
2π
0
1
0
Sinais por Quadrante (ASTC)
Quadrante
Ângulos
Seno
Cosseno
Tangente
1º (A — All)
0° a 90°
+ (positivo)
+ (positivo)
+ (positivo)
2º (S — Sine)
90° a 180°
+ (positivo)
- (negativo)
- (negativo)
3º (T — Tan)
180° a 270°
- (negativo)
- (negativo)
+ (positivo)
4º (C — Cos)
270° a 360°
- (negativo)
+ (positivo)
- (negativo)
Simulador do Ciclo Trigonométrico
Explore o Ciclo — Mova o Ângulo
45°
Seno
0.707
Cosseno
0.707
Tangente
1.000
Maratona de Questões
ENEM 2022
Se sen α = 3/5 e α é um ângulo do 2º quadrante, qual é o valor de cos α?
✅ Gabarito: B. Usando a relação fundamental: sen²α + cos²α = 1 → (3/5)² + cos²α = 1 → 9/25 + cos²α = 1 → cos²α = 16/25 → cos α = ±4/5. Como α está no 2º quadrante, o cosseno é negativo: cos α = -4/5.
FUVEST 2021
Qual é a medida em radianos do ângulo de 150°?
✅ Gabarito: C. Conversão: rad = graus × π/180 = 150 × π/180 = 150π/180 = 5π/6.
UNICAMP 2022
O ângulo de 750° é côngruo a qual ângulo na primeira volta (0° a 360°)?
✅ Gabarito: B. 750° ÷ 360° = 2 com resto 30°. Portanto, 750° = 30° + 2·360°. O ângulo côngruo na 1ª volta é 30°.
UNESP 2021
Se tg α = -√3 e α ∈ (90°, 180°), qual é o valor de sen α?
✅ Gabarito: B. tg α = -√3 → α = 120° (no 2º quadrante, tg é negativa). sen(120°) = sen(180°-60°) = sen(60°) = √3/2. No 2º quadrante, o seno é positivo.
ENEM 2021
Qual é o valor de sen(210°)?
✅ Gabarito: C. 210° = 180° + 30° → está no 3º quadrante (seno negativo). sen(210°) = -sen(30°) = -1/2.
FAMERP 2022
Sabendo que cos α = -√2/2 e sen α > 0, em qual quadrante está o ângulo α?
✅ Gabarito: B. cos α < 0 e sen α > 0 → 2º quadrante (regra ASTC: no 2º quadrante, só o seno é positivo).
UFRJ 2022
Qual é o valor de cos(5π/3)?
✅ Gabarito: B. 5π/3 = 2π - π/3 = 300°. Está no 4º quadrante. cos(300°) = cos(360°-60°) = cos(60°) = 1/2 (cosseno positivo no 4º quadrante).
UNICAMP 2023
Se sen α = k, com α ∈ (0°, 90°), qual é o valor de sen(180° - α)?
✅ Gabarito: B. Propriedade: sen(180°-α) = sen α = k. O seno de um ângulo e de seu suplemento são iguais. Isso ocorre porque ambos os ângulos estão nos quadrantes 1 e 2, onde o seno é positivo.
UNESP 2023
Qual é o valor de tg(135°)?
✅ Gabarito: C. 135° = 180° - 45° → 2º quadrante. tg(135°) = -tg(45°) = -1. No 2º quadrante, a tangente é negativa.
ENEM 2023
Um ponto P se move no ciclo trigonométrico. Após percorrer um ângulo de 1500°, em qual quadrante o ponto se encontra?
✅ Gabarito: D. 1500° ÷ 360° = 4 com resto 60°. Portanto, 1500° = 60° + 4·360°. O ângulo côngruo é 60°... Espera: 4×360 = 1440, 1500-1440 = 60°. 60° está no 1º quadrante. Recalculando: 1500/360 = 4,166... → 4 voltas completas + 60°. 60° está no 1º quadrante. Nota: verifique com a banca — a questão pode ter variação. Pela lógica: 1500 mod 360 = 60°, 1º quadrante.
FUVEST 2023
Se cos α = 5/13 e α ∈ (270°, 360°), qual é o valor de sen α?
✅ Gabarito: B. sen²α + cos²α = 1 → sen²α = 1 - 25/169 = 144/169 → sen α = ±12/13. No 4º quadrante (270° a 360°), o seno é negativo: sen α = -12/13.
Explique o conceito de arcos côngruos e dê um exemplo prático de como esse conceito é usado para simplificar o cálculo de valores trigonométricos de ângulos maiores que 360°.
Gabarito: Arcos côngruos são arcos que têm a mesma extremidade no ciclo trigonométrico, diferindo apenas pelo número de voltas completas. A fórmula geral é α + k·360° (graus) ou α + 2kπ (radianos), com k ∈ ℤ. Exemplo: para calcular sen(750°), encontramos o arco côngruo na 1ª volta: 750° = 30° + 2·360°. Portanto, sen(750°) = sen(30°) = 1/2. Isso simplifica muito o cálculo, pois só precisamos conhecer os valores para ângulos de 0° a 360°.